Factorización de un cubo perfecto

Definición

Se le llama cubo perfecto al resultado de elevar un binomio al cubo, esto es:

Binomio al cubo	Cubo perfecto (polinomio)
(a+b)3	a3 + 3a2b +3ab2 + b3

Método

Para factorizar el polinomio cubo perfecto se hace lo siguiente:

1. Se escribe un paréntesis.

2. Se saca raíz cúbica del primer término.

3. Se saca raíz cúbica del cuarto término.

4. Se toma el signo del último término.

5. Se eleva al cubo el binomio.

Por lo anterior podemos decir que:

(27x³+216y³)=(3x+6y)(9x²-12xy+36y²)

Al tener la diferencia de dos cubos o la suma de dos cubos sabemos que es el resultado de multiplicar:

(a + b) (a² –ab + b²) = a³ + b³   ó   (a - b) (a² + ab + b²) = a³ – b³

Donde a y b, se pueden representar por cualquier cantidad.

Para descomponer la suma o diferencia de cubos, tenemos que encontrar el binomio y el trinomio que multiplicados den como resultado la suma o la diferencia, según sea el caso.

Ejemplos resueltos con procedimiento

I) 8 a³b³ + 36 a²b²c + 54 abc² + 27 c³

Solución:

1) Se saca la raíz cúbica del primer término.

 Raíz cúbica de 8 a³b³ = 2ab

2) Se saca raíz cúbica del último término.

 Raíz cúbica de 27c³ = 3c

3) Se toma el signo del último término y se eleva el binomio al cubo.

(2a + 3c)³

II) 125 a⁶b3 – 225 a⁴bc² + 135 a²bc² – 27 c³

Solución:

1) Se saca raíz cúbica del primer término.

 Raíz cúbica de 125 a⁶b³ = 5a²b

2) Se saca raíz cúbica del último término.

 Raíz cúbica de 27c³ = 3c

3) Se toma el signo del último término y se eleva el binomio al cubo.

(5a²b - 3c)³

III) Factorizar x³ + 1

La raíz cúbica de: x³ es x
La raíz cúbica de: 1 es 1

Según procedimiento x³ + 1 = (x + 1) [(x)² - (x) (1) + (1)²]

Luego x³ + 1 = (x + 1) (x2 - x + 1)