miércoles, 29 de febrero de 2012
domingo, 26 de febrero de 2012
Numeros Complejos... (equipo_bonito)
NUMEROS COMPLEJOS
Son aquellos que se forman por una parte real y una imaginaria.
Son de la forma z = a +bi, con a, b Î R donde:
a = Re (z) parte real y b = Im (z) parte imaginaria
FORMA RECTANGULAR O BINOMINAL FORMA CARTESIANA
z = a + bi z = (a,b)
z = a z = (a,0)
z = bi z = (0,b)
Expresa en la forma cartesiana los números complejos z1= -4+5i, z2=2i z3=8
Resuelve de la forma binominal los siguientes números complejos:
z1= (3-1) z2= (2,0) z3= (0,-3)
Forma binomial.
z1= (3-1) z1= 3 - i
z2=(2,0) z2= 2
z3=(0,-3) z3= -3i
REPRESENTA LOS SIGUIENTES NUMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA BINOMINAL O CARTESIANA SEGÚN SEA EL CASO.
Este un resumen mas elaborado sobre tema..
2/3 - 5/4i
5-2i
[1/2, - 6/7]
(0,-2)
- 1/3
(3,0)
[5- 2/11 i]
5/2 , - 8i
(0,7)
9-4i
Este un resumen mas elaborado sobre tema..
sábado, 25 de febrero de 2012
FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO EJERCICIOS (las nutrias)
Ejercicios:
01) x2 + 6x + 9
02) 16x2 + 8x +1
03) y2 + 10y + 25
04) 4y2 - 24y + 36
05) 49x2 + 112x + 64
06) 81y2 - 180y + 100
07) 25x2 + 30xy + 9y2
08) 81z2+ 108zw + 36w2
09) 64x4y2 + 176x2y +121w6
10) 144x8 - 24x4y5 + 5y3
11) 0.04x2 - 4x + 100
12) 400y4 - 12y2 + 0.09
13) a2/4 + 4a + 16
14) x2/9 - 16x/3 + 64
15) 25x2/4 + 20xy/3 + 16y2/9
02) 16x2 + 8x +1
03) y2 + 10y + 25
04) 4y2 - 24y + 36
05) 49x2 + 112x + 64
06) 81y2 - 180y + 100
07) 25x2 + 30xy + 9y2
08) 81z2+ 108zw + 36w2
09) 64x4y2 + 176x2y +121w6
10) 144x8 - 24x4y5 + 5y3
11) 0.04x2 - 4x + 100
12) 400y4 - 12y2 + 0.09
13) a2/4 + 4a + 16
14) x2/9 - 16x/3 + 64
15) 25x2/4 + 20xy/3 + 16y2/9
Teorema del Factor y del Residuo
I) f(x)= (x2 + x - 2)/(x-2)
II) f(x)= (x2 + 5*X - 1)/(X-3)
III) f(x)= (x2 + x - 5)/(x-5)
IV) f(x)= (x2 + x - 20)/(x-10)
V) f(x)= (x2 + x - 2)/(x-3)
VI) f(x)= (x3 + x -10)/(x-2)
VII) f(x)= (x4 + x-12)/(x-2)
VIII)f(x)= (x2 + x -20)/(x-20)
IX) f(x)= (x3 + x -2)/(x-1)
X) f(x)= (2x + x - 4)/(x+2)
XI) f(x)= ( x2 + x - 9)/(x-3)
XII) f(x)= (2x3 + x2-6)/(x-2)
XIII) f(x)= (3x4 + x-12)/(x-2)
XIV) f(x)= (3x4 + x3 -20)/(x-4)
XV) f(x)= (2x4 + 2x2 -100)/(x-5)
Aplicar el teorema adecuado para demostrar si el residuo es parte del factor o no
Por: Vaqueros
viernes, 24 de febrero de 2012
operaciones con fracciones algebraicas ejercicios
: significa dividir
. significa multiplicar
las primeras 5 se tienen que simplificar
Por: Mathematicus
operaciones con fracciones algebraicas
Operaciones con fraccciones algebraicas
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
Simplificar fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.
Por ejemplo, simplificar:
4x(x-2) ^2÷ 8x^2(x-2)= (x-2)÷ 2x
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.
Por ejemplo:
(2x-1)÷(x+1)–(x-1)÷(x+1)+(x) ÷(x+1)= (2x-1)-(x-1)+(x)÷(x+1)= (2x)÷(x+1)
Producto de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Por ejemplo:
(3x -4)÷(x^3 -4).(x^2-5x+1)÷(x^2-2x-3)=3x^3-19x^2+23x-4÷ x^5-2x^4-3x^3-4x^2+8x+12
Cociente de fracciones algebraicas
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Por ejemplo:
Por: Mathematicus
martes, 21 de febrero de 2012
RADICALES
1:16*3/2=
2.-8*2/3=
3.-81*0.75=
4.-8*0.333...=
5.-/2 x 3*2 x 5*5=
6.-2/2-4/2+/2=
7.-3 *4/5-2 *4/5- *4/5=
8.-/12- 3/3+2/75=
9.-/2 x /6=
10.-/3 x *3/9 x *4/27=
11.-*6/128 ¬ *6/16=
12.-*3/4 ¬ /2=
13.-( *3/18) *2=
14.-( /7 - /2)*2=
15.-(2- /3)*2=
El signo: / significa raiz.
El signo: * significa potencia.
El signo: ¬ signifoca division.
Producto de dos binomios conjugados
Producto de dos binomios conjugados
Cuando se tiene un producto de dos binomios los cuales tienen los mismos monomios excepto porque el signo de uno de los monomios es diferente para ambos a ese producto se le conoce como binomios conjugados y tiene la forma:
(a + b)(a - b)
Si desarrollamos el producto tenemos:
(a + b)(a - b) = (a)(a) + (a)(-b) + (b)(a) + (b)(-b)
(a + b)(a - b) = aa - ab + ba - bb
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(a + b)(a - b) = aa - ab + ba - bb
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Lo que se obtiene es el primer monomio elevado al cuadrado con signo positivo y el segundo monomio elevado al cuadrado con signo negativo. Esto se conoce como diferencia de cuadrados. Esta identidad se puede usar en cualquier caso en que se tengan binomios conjugados.
Ejemplo. Obtener el producto de 2x2 + y y 2x2 - y.
Usando la identidad se tiene que:
Usando la identidad se tiene que:
(2x2 + y)(2x2 - y) = (2x2)2 - (y)2
(2x2 + y)(2x2 - y) = 4x4 - y2
(2x2 + y)(2x2 - y) = 4x4 - y2
El producto de la suma de dos numeras (a+b) por su diferencia (a-b) es un producto notable; ah ambos factores, uno en relación con el otro, se les llama binomio conjugado. el producto de dos binomios conjugados recibe el nombre de diferencia de cuadrados
Producto de dos binomios conjugados
Cuando se tiene un producto de dos binomios los cuales tienen los mismos monomios excepto porque el signo de uno de los monomios es diferente para ambos a ese producto se le conoce como binomios conjugados y tiene la forma:
(a + b)(a - b)
Si desarrollamos el producto tenemos:
(a + b)(a - b) = (a)(a) + (a)(-b) + (b)(a) + (b)(-b)
(a + b)(a - b) = aa - ab + ba - bb
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(a + b)(a - b) = aa - ab + ba - bb
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Lo que se obtiene es el primer monomio elevado al cuadrado con signo positivo y el segundo monomio elevado al cuadrado con signo negativo. Esto se conoce como diferencia de cuadrados. Esta identidad se puede usar en cualquier caso en que se tengan binomios conjugados.
Ejemplo. Obtener el producto de 2x2 + y y 2x2 - y.
Usando la identidad se tiene que:
Usando la identidad se tiene que:
(2x2 + y)(2x2 - y) = (2x2)2 - (y)2
(2x2 + y)(2x2 - y) = 4x4 - y2
(2x2 + y)(2x2 - y) = 4x4 - y2
El producto de la suma de dos numeras (a+b) por su diferencia (a-b) es un producto notable; ah ambos factores, uno en relación con el otro, se les llama binomio conjugado. el producto de dos binomios conjugados recibe el nombre de diferencia de cuadrados
lunes, 20 de febrero de 2012
Minimo común múltiple de dos a mas polinomios y binomio de Newton
1: 3x+3,6x-6
2: a*3+a*2b,+2a*2,b+ab*2
3: x*3-y*3,(x-y)*3
4: 5(x+y)*2,10(x*2+y*2)
5: 6a*2+13a+6,3a*2+14a+8,4+12a+9a*2
6: 2m*2+2mn,4mn-4n*2,6m*3n-6mn*3
7: 17mn+8m-3n-2,48m*2n-3n+32m*2-2,6n*2-5n-6
8: 2x*2+5xy-2y*2,15x*2+13xy+2y*2,20*2-xy-y*2
9: m*3-27m*3,m*2-9n*2,m*2-6mn+9n*2,m*2+3mn+9n*2
10:(2+3x)*4
11:(2-3y)*4
12:(4-x)*7
13:(x-3)*6
14:(x-2y)*4
15:(2-3x)*4
*1,*2,*3...etc. Son potencias.
2: a*3+a*2b,+2a*2,b+ab*2
3: x*3-y*3,(x-y)*3
4: 5(x+y)*2,10(x*2+y*2)
5: 6a*2+13a+6,3a*2+14a+8,4+12a+9a*2
6: 2m*2+2mn,4mn-4n*2,6m*3n-6mn*3
7: 17mn+8m-3n-2,48m*2n-3n+32m*2-2,6n*2-5n-6
8: 2x*2+5xy-2y*2,15x*2+13xy+2y*2,20*2-xy-y*2
9: m*3-27m*3,m*2-9n*2,m*2-6mn+9n*2,m*2+3mn+9n*2
10:(2+3x)*4
11:(2-3y)*4
12:(4-x)*7
13:(x-3)*6
14:(x-2y)*4
15:(2-3x)*4
*1,*2,*3...etc. Son potencias.
jueves, 16 de febrero de 2012
Minimo común multiplo de dos o mas polinomios y binomio de Newton. (resumen)
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.
Clasificación de un polinomio según su grado
Primer grado
P(x) = 3x + 2
Segundo grado
P(x) = 2x2 + 3x + 2
Tercer grado
P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2
Tipos de polinomios
Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el todos sus términos o monomios son del mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Minimo común múltiplo de dos o mas polinomios
Es aquel polinomio en el que sus términos no son del miso grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x − 3 + 2x3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Binomio de Newton
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.
Podemos observar que:
El número de términos es n+1.
Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.
Clasificación de un polinomio según su grado
Primer grado
P(x) = 3x + 2
Segundo grado
P(x) = 2x2 + 3x + 2
Tercer grado
P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2
Tipos de polinomios
Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el todos sus términos o monomios son del mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Minimo común múltiplo de dos o mas polinomios
Es aquel polinomio en el que sus términos no son del miso grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x − 3 + 2x3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Binomio de Newton
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.
Podemos observar que:
El número de términos es n+1.
Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.
miércoles, 15 de febrero de 2012
resumen sobre....
Producto de dos binomios que tienen un término común
El producto de dos binomios con término semejante y otro no común es igual a "el producto de términos semejantes más, el producto de los términos de los medios más, el producto de los extremos más, el producto de los términos no común ".
ejemplo:
demostracion:
mas ejemplos:
| 1) | (x + 2)(x + 7 ) | = | x2 | | + | (2 + 7) | x | + | (2)(7) |
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
| Entonce: | (x + 2)(x + 7 ) | = | x2 | | + | 9 | x | + | 14 |
mas ejercicios sobre...
producto de dos binomios con un termino en comun
(x-1)(x+3b)=
(ab+12)(ab+2c)=
(x + 9) (x + 4) =
(x –ab)(x – 2)
(x + 6) (x – 1) =
(x – 4) (x + 2) =
(x + m) (x + y) =
(x + 11) (x – 7) =
(x – 6) (x – 9) =
(x +13)(x – 7) =
(x – 10) (x +z)=
(x – c) (x + d) =
(1/4yz-a)(2/5x-a)=
(5y-z)(5y-x)=
(3/4xy+12)(1/4xy+3)=
(ab+12)(ab+2c)=
(x + 9) (x + 4) =
(x –ab)(x – 2)
(x + 6) (x – 1) =
(x – 4) (x + 2) =
(x + m) (x + y) =
(x + 11) (x – 7) =
(x – 6) (x – 9) =
(x +13)(x – 7) =
(x – 10) (x +z)=
(x – c) (x + d) =
(1/4yz-a)(2/5x-a)=
(5y-z)(5y-x)=
(3/4xy+12)(1/4xy+3)=
nota: los n/m son fracciones.
EJERCICIOS DE DESCOMPONER EN FACTORES UN TRINOMIOD DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA X2+PX+Q
1. X2-2X-15
2. x2+5x+6
3. x2+2x-15
4. a2-13a+40
5. m2-11m-12
6. x2-5x-14
7. 2y2+2y-24
8. 6x2-13x+5
9. 5x2-22x-15
10. 3x2+23x+14
11. 8x2-22x-21
12. x2 + 3x + 2
13. a2 - 12a - 64
14. m2 + 5m + 6
15. x2 - 14x - 15
POR: DGBS
lunes, 13 de febrero de 2012
FACTORIZACION DE UN CUADRADO PERFECTO
FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Un Trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica resultado de un binomio al cuadrado.
METODO:
1. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos del trinomio (primer y tercer termino).
2. Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces.
3. Este producto es expresa en forma cuadrada.
EJERCICIOS:
1. a2+2ab+b2 = (a+b)2
=a
1. a2+2ab+b2 = (a+b)2
2. y2+6yw+9w2 = (y+3w)2
3. 16m2 + 40m + 25 = (4m+5)2
4. 49s2 – 14s + 1 = (7s-1)2
5. x2 + 10x + 25 = (x+5)2
6. 81z2 - 180z + 100 = (9Z -10)2
7. x2+6x+9 = (x+3)2
8. 25x2+30x+9 = (5X+3)2
9. 36y2-48y+16 = (6y+4)2
10. 4a2-326a+64 = (2a-8)2
11. 64x4-64x2+16 = (8x2-4)2
12. 4x2-20xy+25y2 = (2x- 5y)2
13. 100x10-60c4x5y6+9c8y12 = (10x5-3c4y6 )2
14. 9x4-36x2y3+36y6 = (3x2-6y3)2
15. 4a6-20a3b4+25b8 = (2a3-5b4)2
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