sábado, 24 de marzo de 2012

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado ó ecuacion cuadrática, que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

ax2+bx+c=0

donde a, b, y c son números reales.


METODOS DE RESOLUCION

La ecuacion ax2 + bx + c = puede presentarse de las siguientes formas:

9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9

–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, c = 10

Para resoluver la ecuacion en cualquiera de sus formas puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

Solución por factorización


En todas las ecuaciónes cuadráticas uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Cuando ya haya encontrado el producto de binomios, se debe buscar el valor de x de cada uno.Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable.


Solución por completación de cuadrados

Partiendo de una ecuación del tipo

x2 + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuación


x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2


Que es lo mismo que

(ax + b) (ax + b)

Que es lo mismo que

ax2 + 2axb + b2

En nuestro ejemplo

x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x2 + 8x + 16 = 48 + 16

x2 + 8x + 16 = 64

factorizando, es puede escribir

(x + 4) (x + 4) = 64 ó (x + 4)2 = 64

se saca raíz cuadrada de ambos miembros

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 − 4

x = 4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.


Solución por la fórmula general

X = - b +/- (b^2 -4ac)^1/2

Es la fórmula general que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, esta genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Al solucionar la ecuacion por este metodo se tiene que saber el valor de las variables, y simplemente sustituir los valores

ejemplo :
2X^2 - X - 6 = 0

Resolución X = 1 +/- ((-1)^2 - 4(1)(-6))^1/2

2(1)

X(1) = 2

X(2) = -2/3

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