Ecuaciones
de segundo grado y una incógnita
Sabemos
que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente
se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita,
que suele ser la x.
Resolver
la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por
la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese
valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo:
Resolver la ecuación x − 1 = 0
El
número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0,
por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si
en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación
de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se
caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una
sola, e incluso ninguna).
Cualquier
ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde
a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por
los números reales que corresponda en cada caso particular.
Solución
de ecuaciones cuadráticas
Hemos
visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0,
donde a, b, y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2
+ 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x2
– 9x + 0
= 0 a = 3, b = –9, c
= 0 (el cero, la c, no se escribe,
no está)
–6x2
+ 0x
+ 10 = 0 a = -6, b
= 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para
resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0
(o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los
siguientes métodos:
Solución por factorización
Solución por factorización
En
toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda
factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido
el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para
hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus
multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1)
Resolver
(x
+ 3)(2x − 1) = 9
Lo
primero es igualar la ecuación a cero.
Para
hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora,
pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora
podemos factorizar esta ecuación:
(2x
− 3)(x + 4) = 0
Ahora
podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x
− 3 = 0
2x
= 3
Si
x
+ 4 = 0
x
= −4
Esta
misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x
+ 3)(2x − 1) = 9
2x2
+ 5x − 12 = 0
2x2
+ 5x = 12
2x2
− 12 = − 5x
En
todos los casos la solución por factorización es la misma:
2)
Halle las soluciones de
La
ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus
factores a cero y luego resolver en términos de x:
Ahora,
si
x
= 0
o
si
x−
4 = 0
x
= 4
No hay comentarios:
Publicar un comentario